■本文中我们以一个幼稚园版本的例子说明电磁对偶性如何帮助我们计算材料的电导率。
在上文中笔者阐述了想解决的问题，也就是电阻 / 电导的计算，并透过费曼图的角度尝试去说服读者这是个困难的问题，接着也复习了电磁对偶性，并深入一点点，探讨在什么情况下它才是个不无聊的性质。
长话短说，我们需要一个没有电荷、电流的空间，在边界上有一个允许有电荷、电流的薄膜。
在本文我们将从这里出发，并且粗略地描绘怎么利用这个特性来计算。
电磁场在三维空间中无疑问地遵守马克斯威方程式，当电磁场逐渐靠近区域的边界时，从马克斯威方程式中可以推导出在边界上电磁场跟表面电荷与电流应当遵守的关系。这些故事可以在标准的大学部电磁学课本中找到，在这边，笔者打算牺牲一点严格性，以直觉上可以理解的方式直接讲结论。[1]
从高中三年级的课程中我们知道，假设有一个无穷大的平板上头有均匀分布的电荷，整个电场也会是均匀而且垂直于平板，强度正比于表面电荷密度。今天即便边界可以是满任意的二维曲面，并且电荷分布可以不均，但当我们无穷靠近这个边界时，只要这个曲面足够平滑，上面的情境依旧可以套用，大致上，靠近边界的电场，它垂直边界的分量对应到该点的电荷密度。
类似的，倘若有一个无穷大的平板躺在 x-y 平面上，上面具有均匀的 y 方向的电流，在 z >； 0 的区域，从右手定则可以知道，具有 x 方向的磁场。套用上面的论证，即使边界是二维曲面，且电流随每一个点具有不同方向与量值，在无穷靠近这个面的时候，约略而言，靠近边界的磁场，平行于边界的分量对应到该点的电流转 90 度。[2]
在我们要考虑的简单例子，这个二维薄膜就由 x-y 平面表示，三维空间则由 z>；0 定义。则上面说明的边界条件可以写为
（靠近薄膜的电场垂直分量）Ez ~ ρ （薄膜上的电荷密度）
（靠近薄膜的磁场 x 分量）Bx~ Jy （薄膜上的电流密度的 y 分量）
在这边磁场的垂直分量，跟电场的平行分量并没有被决定。
而我们的欧姆定律，可以写为
Jy = σEy接着对偶性要出场了。我们知道在 z>；0 的空间中， （E， B ） 的电磁学跟它的对偶 （E ’，B ’） = （-B， E ） 描述基本上一样的电磁学，而靠近边界 Ez’ ~ ρ’， Bx’~ Jy’。
Jy = Bx= -Ex’= - （Jx’/ σ’） = （ By’ /σ’ ） = （ Ey /σ’）
但欧姆定律又告诉我们，Jy = σEy 结论是
σσ’ = 1
我们或许无法计算 σ 或 σ’，但我们知道他俩的乘积。同时在上半集中我们有提到，电磁对偶性把交互作用强度从 e 映射至 1/e ，也因此两理论有个自对偶点 e =1/e，在那个点两理论完全相等，所以 σ = σ’= 1。
事实上，只要系统有这个数学结构，我们不只可以决定电导系数，在自对偶点，我们可以决定一部分的电热系数，与热导系数。
在弦理论中有一个概念是，全息对偶，一如全息影像，此对偶性表明在某些模型中，一个 d+1 维空间的重力理论等价于一个 d 维边界的量子场论。这基本上就是我们上面讲的三维无电荷的空间与二 维有电荷的薄膜，也因此在某个全息模型中，学者在接近十年前便利用这个数学性质决定了电导系数。[1， 2 ]
另外从边界条件和对偶互换的性质可以得见，Jy ~ -Ex’， ρ ~ Bz’，电流密度在对偶性转换之下变成平行方向的电场，而电荷在对偶转换之下变成垂直方向的磁场。回顾量子霍尔效应的最终章，在迪拉克复合费米子一文内的表格清楚地载明这便是粒子漩涡对偶。也的确，学者们已经推演出，若将迪拉克费米子放在 3 维的电磁场中，电磁对偶可以帮助理论学家计算在自对偶点的电导、热导与电热系数。[3]
caption: 先前霍尔效应中提及的费米子对偶，即是可利用本文中技巧做计算的一个具体例子。
参考资料:
[1] C. P. Herzog， P. Kovtun， S. Sachdev， and D. T. Son， Quantum Critical Transport， Duality， and M theory， Phys. Rev. D. 75， 085020 （2007）.
[2] S. A. Hartnoll， and C. P. Herzog， Ohm’s Law at Strong Coupling: S Duality and Cyclotron Resonance， Phys. Rev. D. 76， 106012 （2007）.
[3] W-H. Hsiao， and D. T. Son， Duality and Universal Transport in a Mixed-Dimensional Electrodynamics， Phys. Rev. B， 96， 075127 （2017）.
注解:
[1] 我必须承认这是“我需要的结论”，而不是精确的方程式。
[2] 我讲“大致上”、“约略”是因为这些“对应”的方式，在每一个特定的模型略有出入，跟标准电磁学课本中见到的边界条件也会有些许不同。
